Aufgaben aus Beispielwettbewerb 2

Aufgabenbereich: W-Gleichungen

Gib die Lösungsmenge jeweils in aufzählender Form an; $\mathbb{G} = \mathbb{Z} =\{...;-2;-1;0;1;2;...\} $
a) $4x-(7+3x)=2(x+6)-9$
b) $x\cdot(3x+4)=(-x-1)\cdot (-3x+4)$
c) $x^2+4\cdot(x-7)>(x+1)\cdot(x+2)+5$
d) $(x+2)\cdot(x+2)=16$

Lösungen

a) $\mathbb{L}=\{$ $-10\}$
Lösung der Gleichung:
$4x-7-3x=2x+12-9$
$x-7=2x+3$
$-10=x$
b) $\mathbb{L}=\{$ $-2\}$
Lösung der Gleichung:
$3x^2+4x=3x^2-x+3x-4$
$3x^2+4x=3x^2+2x-4$
$4x=2x-4$
$2x=-4$
$x=-2$
c) $\mathbb{L}=\{36;37;38;...\}$
Lösung der Ungleichung:
$x^2+4x-28>x^2+2x+x+2+5$
$x^2+4x-28>x^2+3x+7$
$4x-28>3x+7$
$x>35$
$\mathbb{L}=\{36;37;38;...\}$
d) $\mathbb{L}=\{-6;2\}$
Lösung der Gleichung:
$(x+2)^2=16$
Lösung für $x_1$:
$x+2=4$
$x_1=2$
Lösung für $x_2$:
$x+2=-4$
$x_2=-6$

Aufgabenbereich: P-Terme

Berechne:
a) $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}:\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 2}$
b) $3\cdot(81-97)$
c) $3^2-\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 2}\cdot (-2)+9^0$

Lösungen

a) $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 14}$b) $-48$c) $18$

Aufgabenbereich: P-Prozentrechnung

Ein Supermarkt bietet einen Rabatt von 20% auf alle Produkte an. Ein Kunde kauft eine Packung Kekse, die ursprünglich 2,99 € kostet. Wie viel kostet die Packung Kekse nach dem Rabatt? Runde auf ganze Cent.

Lösungen

Um den neuen Preis zu bestimmen, müssen wir den alten Preis mit dem Faktor 0,8 multiplizieren, da der Kunde einen Rabatt von 20% erhält. Das ergibt einen neuen Preis von 2,39 €. Da wir auf ganze Cent runden sollen, wird der neue Preis auf 2,39 € gerundet.

Aufgabenbereich: W-Dreieckskonstruktion

a) Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $c=6,5$ cm, $b=4,0$ cm und $\alpha=30^{\circ}$.
b) Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $a=6,0$ cm, $\gamma=35^{\circ}$ und $s_a=5,5$ cm.
c) Konstruiere ein spitzwinkliges Dreieck $ABC$ mit $h_c=4,0$ cm, $b=6,0$ cm und $s_b=5,0$ cm.

Lösungen

a) Um zu überprüfen, ob du das Dreieck korrekt konstruiert hast, miss den Winkel $\beta$.
$\beta=$ $33,5^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite c und Trage die Punkte A und B ein.
2) Konstruiere den Winkel $\alpha$ bei A und zeichne einen Strahl.
3) Miss die Länge der Seite b an diesem Strahl ab, oder konstruiere die Länge mit Hilfe des Zirkels.
4) Markiere den Punkt C und im Anschluss die Seite a. Beschrifte das Dreieck.

b) Um zu überprüfen, ob du das Dreieck korrekt konstruiert hast, miss den Winkel $\alpha$.
$\alpha=$ $52^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere die Seite a und Trage die Punkte B und C ein.
2) Konstruiere bei C den Winkel $\gamma$ und erzeuge einen Strahl
3) Konstruiere den Mittelpunkt der Seite a (abmessen, oder mit dem Zirkel) und benenne den Punkt als $M_{BC}$.
4) Stelle mit dem Zirkel den Radius von $s_a$ ein (3 cm) und stich damit im Punkt $M_{BC}$ ein. Konstruiere einen Kreis. Auf diesem Kreis muss der Punkt A liegen. Der Schnittpunkt mit dem Strahl ist der Punkt A.
5) Verbinde zu einem fertigen Dreieck und beschrifte korrekt.

c) Um zu überprüfen, ob du das Dreieck korrekt konstruiert hast, miss den Winkel $\alpha$.
$\alpha=$ $42^{\circ}$
Konstruktionsvorschlag:
1) Konstruiere zwei parallele Geraden im Abstand von 4 cm (bedingt durch die Höhe $h_c$. Auf der unteren Gerade befindet sich die Seite $c$ und die Punkte $A$ und $B$, auf der oberen Gerade der Punkt $C$.
2) Wähle auf der unteren Gerade einen Punkt aus und beschrifte ihn mit $A$.
3) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 6 cm und stich im Punkt $A$ ein. Konstruiere einen Kreisbogen. Die Schnittpunkte mit der oberen Geraden bilden den möglichen Punkt $C$. Beschrifte den rechten Schnittpunkt mit $C_2$. Dieser ist jedoch nicht relevant (Erklärung folgt).
4) Konstruiere den Mittelpunkt der Seite b und bezeichne ihn mit $M_b$. 5) Wähle mit dem Zirkel den Radius von 5 cm und stich im Punkt $M_b$ ein. Der Schnittpunkt mit der unteren Gerade ist der Punkt B. Nur der rechte Schnittpunkt kommt in Betracht, da der linke Schnittpunkt kein Dreieck mit Beschriftung gegen den Uhrzeigersinn ermöglicht.
6) Verbinde die Seiten und beschrifte das Dreieck.

Erklärung, warum $C_2$ irrelvant ist: Ein Dreieck mit Eckpunkt $C_2$ ist konstruierbar. Jedoch wäre der Winkel bei $\alpha$ größer als 90° und demnach wäre es kein spitzwinkliges Dreieck (siehe Abbildung).

Aufgabenbereich: W-Komplexe Wahrscheinlichkeitsrechnung

In einer Stadt haben 80% der erwachsenen Menschen ein Auto.
a) Aus der Stadt werden zufällig zwei erwachsene Menschen ausgewählt.
Hinweis: Es handelt sich um ein Ziehen mit Zurücklegen. (Aufgrund der sehr großen Anzahl der Personen in einer Stadt geht man davon aus, dass sich die Wahrscheinlichkeit nicht groß ändert, wenn man eine einzelne Person zieht. Daher kann man es als ein Ziehen mit Zurücklegen betrachten)
(1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat keiner von ihnen ein Auto?
(2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat genau einer der beiden ein Auto?
b) Aus der Stadt werden zufällig vier erwachsene Menschen ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat mindestens einer ein Auto?
c) Anhand einer Stichprobe aus 10 erwachsenen Menschen wird festgestellt, dass 60% der betroffenen Personen ein Auto haben.
(1) Zwei Personen werden zufällig ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat genau einer der beiden ein Auto?
(2) Drei Personen der Stichprobe werden nach dem Besitz eines Autos gefragt. Der erste hat ein Auto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die übrigen beiden Personen kein Auto haben?
(3) Der Stichprobe werden weitere 10 Leute hinzugefügt. Wie viele von ihnen müssen ein Auto besitzen, sodass die Statistik der Stadt stimmt?

Lösungen

a) (1) $p=$ $0,04$
Wenn 80% der erwachsenen Menschen in der Stadt ein Auto besitzen, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keiner von beiden ein Auto hat, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dafür, dass jeder von ihnen kein Auto hat. Das bedeutet:
$p=0,2 \cdot 0,2 = 0,04$ oder $4$ %.a) (2) $p=$ $0,32$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der beiden ein Auto hat (der andere jedoch keines), ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der erste Mensch ein Auto hat und der zweite nicht oder umgekehrt. Das bedeutet:
$p=2 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,32$ oder $32\: \%$.b) $p=$ $0,9984$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer von vier erwachsenen Menschen in der Stadt ein Auto hat, ist gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit dafür, dass keiner von ihnen ein Auto hat. Das bedeutet:
Keiner der vier Personen hat ein Auto: $p=0,2^4=0,0016$
Mindestens einer hat ein Auto: $1 - 0,0016 = 0,9984$ oder $99.84\:\%$.c) (1) $p=$ $\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 15}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der beiden Personen ein Auto hat (der andere jedoch keines), ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fälle: Der erste Mensch hat ein Auto und der zweite nicht oder umgekehrt. Da 60 % von den 10 Personen ein Auto haben, bedeutet dies, dass 6 Personen ein Auto haben und 4 nicht. Da zwei Personen gezogen werden handelt es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Das bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeit nach dem ersten Ziehen ändert:
$p=\frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 10}\cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9} + \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 10}\cdot \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 9} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 15}$ c) (2) $p=$ $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$
Da eine Person bereits gezogen worden ist, sind nur noch 9 Personen möglich zu ziehen. Von diesen wissen wir, dass 5 Personen von ehemals 6 ein Auto haben und 4 nicht. Daraus ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeit:
$p=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 9}\cdot\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 8}=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$c) (3) 80 % sollen ein Auto besitzen. 80 % von 20 Personen entspricht 16 Personen. Da bereits 6 Personen ein Auto besitzen müssen alle 10 neuen Personen ein Auto besitzen, damit die Statistik stimmt.

Aufgabenbereich: P-Flächenberechnung und Koordinatensysteme

Im gegebenen Koordinatensystem $(1\:LE\: \widehat{=}\: 1\:cm)$ sind die Punkte $A(-2|2)$ und $B(3|5)$ gegeben.
a) Spiegelt man die Punkte $A$ und $B$ an der y-Achse, so entstehen die Punkte $A'$ und $B'$. Gib die Koordinaten der Punkte an.
b) Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $AA'BB'$.
c) Das Trapez ist Teil eines Dreiecks mit den Eckpunten $B$ und $B'$ und dem unbekannten Punkt $C$. Die Punkte $A$ und $A'$ liegen auf der Seite $\overline{B'C}$ bzw. $\overline{BC}$ des Dreiecks. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $CBB'$.

Lösungen

a) (1) $A'(2;2)$a) (2) $B'(-3|5)$b) A=15 cm²c) $C(-4|0)$
Das Dreieck hat damit die Höhe von 9 LE.
Für den Flächeninhalt gilt: $A=6\:cm \cdot 9\:cm\cdot\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}=27\:cm^2$

Aufgabenbereich: P-Winkel in Figuren

In der Figur liegen die Punkte C und D auf dem Halbkreis um den Mittelpunkt M.
Berechne die Winkel $\alpha$, $\delta$ und $\epsilon$.

Lösungen

$\alpha=$ $60°$$\delta=$ $105°$$\epsilon=$ $30°$

Aufgabenbereich: P-Symmetrie

Welche der folgenden Figuren (1) bis (5)
a) sind achsensymmetrisch,
b) sind punktsymmetrisch,
c) haben mehr als eine Symmetrieachse?

Lösungen

a) b) c)

Aufgabenbereich: P-Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein Schüler wählt zufällig Karten aus einem Satz von 20 Karten aus. Die Karten sind durchnummeriert von 1 bis 20.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine ausgewählte Karte eine ungerade Zahl ist.
b) Er zieht zwei Karten ohne zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte eine Zahl ist, die durch 7 teilbar ist und die zweite Karte durch 5 teilbar ist.
Gib jeweils einen Bruch als Ergebnis an.

Lösungen

a) $p=$ $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$b) $p=$ $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 20}\cdot\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 19}$
$=\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 95}$

Aufgabenbereich: P-Zuordnungen

Ein Mann möchte eine Treppe bauen, um einen Höhenunterschied von 3 Metern zu überwinden. Die Treppe soll aus gleich hohen Stufen bestehen. Je nach gewählter Stufenhöhe wird hierfür eine unterschiedliche Anzahl gleich hoher Stufen benötigt (siehe Tabelle).

.tg {border-collapse:collapse;border-spacing:0;} .tg td{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px; overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg th{border-color:black;border-style:solid;border-width:1px;font-family:Arial, sans-serif;font-size:14px; font-weight:normal;overflow:hidden;padding:10px 5px;word-break:normal;} .tg .tg-0lax{text-align:left;vertical-align:top} Stufenhöhe in cm 20 x 25 Anzahl der Stufen 15 10 y
a) Berechne x und y.
b) Die erste Stufe soll 10 cm hoch sein. Jede Stufe soll ein cm höher, als die vorherige sein. Berechne, ob der Bau einer solchen Treppe möglich ist.

Lösungen

a) (1) x= 30a) (2) y= 12b) Nein, es geht nicht, denn:
$10+11+12+...+23+24+25=280$
$10+11+12+...+24+25+26=306$
Demnach kommt man nicht genau auf 300 cm

Aufgabenbereich: P-Flächenberechnung und Koordinatensysteme

Verlängert man bei einem Quadrat zwei gegenüberliegende Seiten jeweils um 5 cm und verkürzt die anderen beiden Seiten jeweils um 4 cm, so entsteht ein Rechteck mit gleichem Flächeninhalt.
Berechne den Flächeninhalt des Quadrats.

Lösungen

Hinweis zur Lösung:
Der Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge $a$ entspricht $A=a^2$.
Verlängert man zwei Seiten um 5 cm, so haben diese die Länge: $a+5$.
Verkürzt man die anderen beiden Seiten um 4 cm, so haben diese die Länge $a-4$.
Der Flächeninhalt des neuen Rechtecks ist damit $A=(a+5)(a-4)$.
Da dieser Flächeninhalt dem des Quadrats entsprechen soll, ergibt sich die Gleichung:
$a^2=(a+5)(a-4)$
Auflösen der Gleichung:
$a^2=a^2-4a+5a-20$
$0=a-20$
$a=20$
$A=(20\:cm)^2=400\:cm^2$

Gib einen Wettbewerb aus einem anderen JahrHinweis: Bei unseren Aufgaben handelt es sich nicht um Originalaufgaben des Mathematik-Wettbewerbs: Die Originalaufgaben findet ihr auf mathematik-wettbewerb.de

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